Geometria szkolna i Wszechświat

W wykładzie rozważymy geometryczny problem, do którego sformułowania użyjemy motywacji astronomicznych. Załóżmy, że chcemy sprawdzić, czy najbliższa naszej intuicji szkolna geometria, zwana geometrią euklidesową, opisuje Wszechświat. Naturalną próbą odpowiedzi będzie eksperymentalne sprawdzenie, czy twierdzenia tej geometrii zachodzą w otaczającej nas przestrzeni. Na przykład, możemy zbadać, czy suma kątów wewnętrznych trójkąta utworzonego przez punkt na Ziemi i dwa punkty na różnych odległych gwiazdach wynosi 180∘. Jednakże wszystkie takie sprawdzenia tego i innych twierdzeń geometrii euklidesowej możemy wykonać jedynie w pewnym otoczeniu Ziemi, którego promień jest wyznaczony zasięgiem naszych teleskopów. Przyjmujemy, że nasze sprawdzenia dały wynik pozytywny i że Ziemia nie zajmuje wyróżnionego miejsca we Wszechświecie. Otrzymujemy stąd, że wszystkie twierdzenia geometrii euklidesowej są spełnione dla każdego punktu przestrzeni w jego otoczeniu o pewnym skończonym promieniu. Czy możemy stąd wnioskować, jaka jest geometria Wszechświata? Odpowiedź na to pytanie jest nieoczekiwana. Jeśli ograniczymy nasze rozważania do dwóch wymiarów, by lepiej zrozumieć otrzymaną odpowiedź, to poza płaszczyzną istnieją jeszcze cztery typy diametralnie różnych przestrzeni posiadających tę własność.