Liceum

Nierówność Karamaty

Uczeń przygotowujący się do konkursów matematycznych wie, że znajomość klasycznych nierówności: nierówności pomiędzy średnimi, twierdzenia o ciągach jednomonotonicznych, nierówności Cauchy’ego-Schwarza, nierówności Jensena i wielu innych ułatwia rozwiązanie niektórych zadań. Jedną z takich nierówności jest mniej znana nierówność Karamaty. Została ona odkryta i udowodniona około 1928 roku przez G.H. Hardy’ego, J.E. Littlewooda, G. Pólya i niezależnie przez J. Karamatę w 1932 roku.

O pięknej, lecz kłopotliwej całce tęczy

Docieranie do objaśnienia różnych aspektów tęczy trwało wiele wieków i wiodło od mitów do matematyki. W wystąpieniu przedstawię, jakie elementy matematyki okazały się być potrzebne do zrozumienia tego, jak wygląda tęcza. W sposób szczególny będzie wyeksponowana tzw. całka tęczy, która pojawiła się przy pierwszej poważnej próbie opisu tego, co dzieje się ze światłem wnikającym do kulistej kropli wody, jeśli patrzymy na to z falowego punktu widzenia.

Krzywe o stałej szerokości

W sposób wizualny i przystępny dla młodzieży szkolnej omówimy płaskie krzywe o stałej szerokości i ich podstawowe własności oraz przedstawimy pewne zastosowania tych krzywych. W trakcie wykładu omówimy pojęcie krzywej na płaszczyźnie, sformułujemy pojęcie prostej stycznej do krzywej oraz krzywej ściśle wypukłej. Korzystając z tych definicji wprowadzimy pojęcie krzywej o stałej szerokości oraz podamy twierdzenie Mellisha przedstawiające ciekawe własności krzywych o stałej szerokości.

Matematyczne aspekty dzieła muzycznego

Wykład spróbuje odsłonić kilka poziomów na których matematyka ukrywa się w kompozycji muzycznej. Pierwszym omówionym aspektem będzie reprezentacja zapisu nutowego z wykorzystaniem arytmetyki modularnej. Operacje tejże arytmetyki pozwolą na wskazanie i wyjaśnienie konstrukcji kontrapunktycznych w muzyce. Następnie wykład zajmie się zasadami harmoniki funkcyjnej, które zostaną zinterpretowane poprzez teorię grup przekształceń. Finalnym krokiem będzie powiązanie analizy harmonicznej z topologicznym opisem wybranych części dzieł muzycznych.